Ещё немного о тригонометрии в вычислениях
На Хабре было уже много статей, посвящённых быстрым вычислениям тригонометрии, когда сильно надо, но я хотел бы дополнить их одной небольшой заметкой с отсылкой к школьной тригонометрии.
Иногда может не быть аппаратной реализации тригонометрии, иногда могут быть иные причины, чтобы изобретать методы ускорения вычисления.
Математика
Давайте вспомним некоторые простые формулы из школьного курса.
Начнём с простых:
(1)
Косинус/синус любого угла может быть приведён к аргументу в диапазоне от 0° до 45°, используя формулы первой группы.
Для малых углов тригонометрические функции могут быть сведены к асимптотическим разложениям, если отбрасываемые члены заведомо выходят за разрядную сетку.
Все промежуточные углы могут быть получены суммированием больших углов с некоторым шагом (а для них тригонометрию можно считать таблично), и остатков, которые рано или поздно дадут линейное разложение.
Применение
Дальше нужно будет выбрать шаг таблиц исходя из того, как мы хотим распределить вычисления, показатель степени 11 мы разделим на несколько частей. Например, можно разбить его на две части: 11=6+5, тогда нам понадобятся две таблицы размером 64 и 32 записи (итого 96), или на три части: 11=4+4+3 (размер таблиц 16+16+8=40 записей), но будет больше операций умножения — конкретный выбор будет зависеть от задачи и располагаемых ресурсов.
Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.
Пример
Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.
Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x’ ).
[предположим для примера, что получился синус]
Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут «битовые поля» в двоичном представлении аргумента x» — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся не при делах биты пойдут в остаток.
Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.
Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:
Шаг 5. Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.
Заключение
Аналогичный подход может использоваться как для вычисления в вещественных числах любого размера, так и, например, для реализации специализированной арифметики с фиксированной запятой. Собственно, в своё время именно последняя задача меня и сподвигла поковыряться в эту сторону, но это было давно.
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Cos2x sin2x что значит на кольцах
Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
1. `sinx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a| 1`, решений нет. Если `|a| Уравнение распадается на два:
1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.
2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.
Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` и `m`), т. к. идёт перечисление решений.
Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.
Уравнение распадётся на два:
1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;
II. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного
Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.
По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,
поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.
Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).
`x=pin,ninz`; `x=+-pi/3+pin,n inZ`.
Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.
Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.
Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.
Это уравнение можно решить и пользуясь формулой `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду: `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или
Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.
III. Однородные уравнения
(хотя формально эти уравнения можно отнестик предыдущему типу)
Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.
Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на `cos^2x`. Получим уравнение `5″tg»^2x-4″tg»x-1=0`. Откуда `»tg»x=1` или `»tg»x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-«arctg»1/5+pin,ninZ`.
Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем уравнение `5″tg»^2x-3″tg»x-2=0`.
Откуда `»tg»x=1` или `»tg»x=-2/5`. И значит, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-«arctg»2/5+pin,ninZ`
Наконец рассмотрим уравнение, сводящееся к однородному третьего порядка.
Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.
Перепишем это уравнение так:
Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `»tg»x`
Делаем замену: `t=»tg»x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители
Уравнение `t^2-3t+6=0` не имеет действительных корней, т. к. `D sqrt2` не даёт решений. Число `|1-sqrt3| при `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.
`max_Rf(x)=-2`, `min_R f(x)=-12`.
Рассмотрим теперь более сложные тригонометрические уравнения, в которых надо делать отбор корней.
V. Рациональные тригонометрические уравнения
Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.
Не будем решать это неравенство, а изобразим на тригонометрическом круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.
Решаем уравнение `cos2x+cosx+1=0`.
Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`, `2cos^2x+cosx=0`,
Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.
Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом круге (рис. 3в). Мы видим, что точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`, удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,
Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.
Умножим уравнение на `sinx*sin3x`. Получим:
Преобразуем это уравнение:
Ещё раз воспользуемся формулой
в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим
`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)` или `1+cos8x-2cos4x=0`.
Если `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.
1. Изображаем точки
на тригонометрическом круге (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).
2. Изображаем точки
которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).
Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки
С решениями уравнения
`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`
`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.
Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.
Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m` и `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`. Видим, что `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т. е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.
Иногда отбор решений предлагается сделать в условии задачи.
Тригонометрия простыми словами
Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.
В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Символично
Парные кольца для технарей
Супруга грешница в квадрате)
По размерам кольца выглядят как набор взрослое+детское 0_о
Тоесть, они постоянно в противофазе?
Тот ещё вариант союза..
И каждый строит свой график биполярного расстройства..
Для медиков тогда :анальгин +димедрол
Ну Петрович! Не буду я твое кольцо брать!
Получается, при определенных значениях х, может оказаться что кто-то ноль, а кто-то единица)
sin^2 + cos^2 = 1 [целое]
Я так понимаю, это символизирует зависимость главенства в семье от размера Х?
Угу. А сосед с тангенсом.
Технари а в ритуалы верят
а по какому признаку кто в паре синус, а кто косинус?
Когда тангенс родится?
Знатоки, поясните, почему они такого разного размера? Даже если предположить предельный случай, что у дамы 16 у мужика 23, они всё равно меньше отличаться будут КМК.
Технари? Или всё таки технарка с технарём?
Я увидел тебя у станка,
Нежный взор твой меня озадачил.
Ты стояла, вращая, слегка
Рукоятку продольной подачи.
Я сказал тебе: «Ваши черты
Несомненно полны благородства»
Мне в ответ улыбаешься ты
Без отрыва от производства
Я теперь без ума от тебя,
Быть не может с тобою ошибки.
Ты стояла в руках теребя
А под вечер к тебе я приду,
Ты расскажешь мне голосом звонким
О подаче на левом ходу,
О гидравлике и шестеренках.
И не будет ни ветра ни туч
Только ты и луна в целом мире.
Хочешь я подарю тебе ключ
Не будь скотиной
Стримеры. Две стороны одного дела
Страшно прибыльно.
Красавчик
Бессердечные
История фейковой сдачи на берет спецназа Кадырова
По итогу всех участников нарушавших правила сдачи сняли с испытаний. В том числе, как говорят родственника Кадырова, сняли с соревнований.
Но утром некоторым из них выдали краповые береты. После чего спецназовцы обещали снять краповые береты в знак протеста. И разбираться с ситуацией приехали генералы и большие начальники из Чечни.
Эти деньги подарки из фонда Кадырова. Тоесть из денег выделяемых из бюджета Российской Федерации, хотя официально это не так, но по факту именно так.
Вот такие у нас коммерческие, ой простите краповые береты.
Это моё мнение как человека, я не хотел кого-либо обидеть. Но молчать я тоже не могу.
UPD. К посту есть вопросы #comment_216789104
