абсолютно твердым телом называется такое тело

АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО

АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО – модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.

Постоянство расстояний обеспечивает покой частей абсолютно твердого тела относительно друг друга и позволяет «привязать» к телу некоторую прямоугольную декартову систему координат Охуz с началом в некоторой точке О тела. Эта система координат называется связанной.

Определение положения абсолютно твердого тела относительно другой, выбранной заранее, системы координат XYZ (условно назовем ее неподвижной) эквивалентно определению положения связанной системы Охуz относительно сиcтемы XYZ. Введем промежуточную систему ОX₁Y₁Z₁ с началом в точке О тела, оси которой остаются параллельными неподвижным осям, т.е. подвижная система координат совершает поступательное движение. Теперь произвольное движение абсолютно твердого тела можно представить в виде «наложения» друг на друга двух движений – вращательного движения связанной системы ОX₁Y₁Z₁ и ее поступательного движения.

Абсолютно твердое тело – второй опорный объект механики (наряду с материальной точкой). С одной стороны, абсолютно твердое тело – совокупность материальных точек и, следовательно, обладает собственной массой. С другой стороны, можно представить себе абсолютно твердое тело, у которого нет собственной массы. С его помощью можно «реализовать» связи, налагаемые на материальные точки. Например, невесомые твердые стержни могут соединять те самые материальные точки, о которых идет речь в определении абсолютно твердого тела.

Для характеристики инерционных и гравитационных свойств тела необходима не только масса (как для материальной точки), но и плотность ее распределения объеме тела. Обычно в качестве меры инерционности вращательного движения принимают моменты инерции тела.

Образ абсолютно твердого тела иногда возникает при описании отдельных типов движения механических систем, вообще говоря, изменяемой конфигурации. Например, когда частицы движущегося деформируемого тела находятся в относительном равновесии, то говорят, что «оно ведет себя, как абсолютно твердое тело».

Суслов Г.К. Теоретическая механика. М., «Гостехиздат», 1946
Аппель П. Теоретическая механика, тт. 1,2. М., «Физматгиз», 1960
Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М., «Наука», 1987
Маркеев А.П. Теоретическая механика. М., «Наука», 1999
Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., Изд-во Моск. Ун-та, 2000
Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М., «Наука», 2001

Источник

Абсолютно твёрдое тело

Абсолю́тно твёрдое те́ло — второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями), но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твердого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес.

Существует несколько определений:

В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия (других) связей абсолютно твёрдое тело обладает 6 степенями свободы: три поступательных и три вращательных. Исключение составляет двухатомная молекула или, на языке классической механики, твёрдый стержень нулевой толщины. Такая система имеет только две вращательных степени свободы.

Абсолютно твёрдых тел в природе не существует, однако в очень многих случаях, когда деформация тела мала и ей можно пренебречь, реальное тело может (приближенно) рассматриваться как абсолютно твёрдое тело без ущерба для задачи.

Содержание

Динамика абсолютно твердого тела

Динамика абсолютно твердого тела полностью определяется его полной массой, положением центра масс и тензором инерции (также, как динамика материальной точки — ее массой). (Конечно, имеется в виду, что заданы все внешние силы и внешние связи, которые, конечно, могут зависеть от формы тела или его частей и т.д.).

Другими словами, динамика абсолютно твердого тела при неизменных внешних силах зависит от распределения его масс только через полную массу, центр масс и тензор инерции, в остальном детали распределения масс абсолютно твердого тела никак не скажется на его движении [2] ; если как-то так перераспределить массы внутри абсолютно твердого тела, что не изменится центр масс и тензор инерции, движение твердого тела в заданных внешних силах не изменится (хотя при этом могут измениться и как правило изменятся внутренние напряжения в самом твердом теле!).

Частные определения

Абсолютно твёрдое тело на плоскости называется плоским ротатором. Он имеет 3 степени свободы: две поступательные и одну вращательную.

Абсолютно твёрдое тело с одной закреплённой точкой, неспособное вращаться и помещённое в поле тяжести, называется физическим маятником.

Абсолютно твёрдое тело с одной закреплённой точкой, но способное вращаться, называется волчком.

Источник

Абсолютно твёрдое тело

Связанные понятия

Механической связью называют ограничения, накладываемые на координаты и скорости механической системы, которые должны выполняться на любом её движении.

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Механи́ческим движе́нием тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

В физике, при рассмотрении нескольких систем отсчёта (СО), возникает понятие сложного движения — когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух системах отсчета (далее СО).

В математике решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория в фазовом пространстве точки состояния динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости.

При рассмотрении сложного движения (когда точка или тело движется в одной системе отсчёта, а эта система отсчёта в свою очередь движется относительно другой системы) возникает вопрос о связи скоростей в двух системах отсчёта.

Принципами механики называются исходные положения, отражающие столь общие закономерности механических явлений, что из них как следствия можно получить все уравнения, определяющие движение механической системы (или условия её равновесия). В ходе развития механики был установлен ряд таких принципов, каждый из которых может быть положен в основу механики, что объясняется многообразием свойств и закономерностей механических явлений. Эти принципы подразделяют на невариационные и вариационные.

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

Эта статья о физическом понятии. О более общем значении термина, см. статью СкалярСкалярная величина (от лат. scalaris — ступенчатый) в физике — величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом. То есть скалярная величина определяется только значением, в отличие от вектора, который кроме значения имеет направление. К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т. д.Скалярная величина, или скаляр согласно математическому энциклопедическому словарю.

Источник

★ Абсолютно твёрдое тело

1. Основные определения. (Basic definitions)

Существует несколько определений абсолютно твердого тела:

Строго говоря, абсолютно твердых тел не существует, но в очень многих случаях, когда деформация тела мала и можно пренебречь, реальное тело может рассматриваться приблизительно как твердое тело без ущерба для решения.

В рамках релятивистской механики понятие абсолютно твердого тела является внутренне противоречивым, которая показывает, в частности, парадокс Эренфеста. другими словами, модель абсолютно твердого тела не применяется в случае быстро движущихся на скоростях, сопоставимых со скоростью света, а также в случае очень сильных гравитационных полей.

2. Кинематика твердого тела. (Kinematics of a rigid body)

Распределение скоростей точек движущегося абсолютно твердого тела описывается формула Эйлера. решение задач на скорость распространения также очень полезно Грасхоф теорема о проекциях скоростей, обычно формулируется так: «проекции скоростей двух произвольных точек твердого тела на прямую, соединяющие эти точки, равны».

3. Динамика твердого тела. (Rigid body dynamics)

Динамика абсолютно твердого тела полностью определяется его полной массой, положением центра масс и тензором инерции в то время как динамика материальной точки полностью определяется ее массой, конечно, имею в виду, что определение всех внешних сил и внешних связей. подробности массового распространения твердого тела не влияет на его движение, если каким-то образом перераспределить массы внутри твердого тела, которые не приводят к изменению положения центра масс и тензора инерции тела, это не изменит движения твердого тела при заданных внешних сил.

4. Частные определения. (Private definitions)

Абсолютно твердого тела на плоскости называется плоской вращатель. он 3 степени свободы: две поступательные и одну вращательную.

Абсолютно твердое тело, помещенное в гравитационное поле и способен вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, называется физическим маятником.

Твердого тела с одной неподвижной точки, но может вращаться, называется верхней.

Источник

§ 7.1. Абсолютно твердое тело и виды его движения

При изучении кинематики мы говорили, что описать движение тела — это значит описать движение всех его точек. Иными словами, надо уметь находить координаты, скорость, ускорение, траектории всех точек тела. В общем случае это сложная задача, и мы не будем пытаться ее решать. Особенно она сложна, когда тела заметно деформируются в процессе движения.

Тело можно считать абсолютно твердым, если расстояния между двумя любыми точками тела неизменны. Иначе говоря, форма и размеры абсолютно твердого тела не изменяются при действии на него любых сил(1).

На самом деле таких тел нет. Это физическая модель. В тех случаях, когда деформации малы, можно реальные тела рассматривать как абсолютно твердые. Однако и движение твердого тела в общем случае сложно. Мы остановимся на двух, наиболее простых видах движения твердого тела: поступательном и вращательном.

Поступательное движение

Твердое тело движется поступательно, если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, все время перемещается параллельно самому себе.

При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения. Покажем это.

Пусть тело движется поступательно. Соединим две произвольные точки А и В тела отрезком прямой линии (рис. 7.1). Отрезок АВ должен оставаться параллельным самому себе. Расстояние АВ не изменяется, так как тело абсолютно твердое.

В процессе поступательного движения вектор не изменяется, т. е. остаются постоянными его модуль и направление. Вследствие этого траектории точек А и В идентичны, так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на .

Нетрудно заметить, что перемещения точек А и Б одинаковы и совершаются за одно и то же время. Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости. Одинаковы у них и ускорения.

Совершенно очевидно, что для описания поступательного движения тела достаточно описать движение какой-либо одной его точки, так как все точки движутся одинаково. Лишь в этом движении можно говорить о скорости тела и ускорении тела. При любом другом движении тела его точки имеют различные скорости и ускорения, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» теряют смысл.

Приблизительно поступательно движется ящик письменного стола, поршни двигателя автомобиля относительно цилиндров, вагоны на прямолинейном участке железной дороги, резец токарного станка относительно станины (рис. 7.2) и т. д.

Поступательными можно считать и движения, имеющие довольно сложный вид, например движение педали велосипеда или кабины «колеса обозрения» (рис. 7.3) в парках.

Вращательное движение

Вращательное движение вокруг неподвижной оси — еще один вид движения твердого тела.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения (MN на рисунке 7.4).

В технике такой вид движения встречается чрезвычайно часто: вращение валов двигателей и генераторов, колес современных скоростных электропоездов и деревенской телеги, турбин и пропеллеров самолетов и т. д. Вращается Земля вокруг своей оси.

Долгое время считалось, что в живых организмах устройств, подобных вращающемуся колесу, нет: «природа не создала колеса». Но исследования последних лет показали, что это не_так. У многих бактерий, например у кишечной палочки, имеется «мотор», вращающий жгутики. С помощью этих жгутиков бактерия перемещается в среде (рис. 7.5, а). Основание жгутика прикреплено к колесику (ротору) в форме кольца (рис. 7.5, б). Плоскость ротора параллельна другому кольцу, закрепленному в мембране клетки. Ротор вращается, делая до восьми оборотов в секунду. Механизм, приводящий ротор во вращение, остается пока во многом не ясным.

Кинематическое описание вращательного движения твердого тела

При вращении тела радиус r_А окружности, описываемой точкой А этого тела (см. рис. 7.4), повернется за интервал времени Δt на некоторый угол φ. Легко видеть, что вследствие неизменности взаимного расположения точек тела на такой же угол φ повернутся за то же время и радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела (см. рис. 7.4). Следовательно, этот угол φ можно считать величиной, характеризующей движение не только отдельной точки тела, но и вращательное движение всего тела в целом. Стало быть, для описания вращения твердого тела вокруг неподвижной оси достаточно лишь одной величины — переменной φ(t).

Этой единственной величиной (координатой) и может служить угол φ, на который поворачивается тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое. Это положение задается осью О₁Х на рисунке 7.4 (отрезки O₂В, О₃С параллельны О₁Х).

В § 1.28 было рассмотрено движение точки по окружности. Были введены понятия угловой скорости ω и углового ускорения β. Так как при вращении твердого тела все его точки за одинаковые интервалы времени поворачиваются на одинаковые углы, то все формулы, описывающие движение точки по окружности, оказываются применимыми и для описания вращения твердого тела. Определения угловой скорости (1.28.2) и углового ускорения (1.28.6) могут быть отнесены к вращению твердого тела. Точно так же справедливы формулы (1.28.7) и (1.28.8) для описания движения твердого тела с постоянным угловым ускорением.

Связь между линейной и угловой скоростями (см. § 1.28) для каждой точки твердого тела дается формулой

где R — расстояние точки от оси вращения, т. е. радиус окружности, описываемой точкой вращающегося тела. Направлена линейная скорость по касательной к этой окружности. Различные точки твердого тела имеют разные линейные скорости при одной и той же угловой скорости.

Различные точки твердого тела имеют нормальные и тангенциальные ускорения, определяемые формулами (1.28.10) и (1.28.11):

Плоскопараллельное движение

Плоскопараллельным (или просто плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется все время в одной плоскости. Причем все плоскости, в которых движутся точки, параллельны между собой. Типичный пример плоскопараллельного движения — качение цилиндра по плоскости. Плоскопараллельным является также движение колеса по прямому рельсу.

Напомним (в который раз!), что говорить о характере движения того или иного тела можно лишь по отношению к определенной системе отсчета. Так, в приведенных примерах в системе отсчета, связанной с рельсом (землей), движение цилиндpa или колеса является плоскопараллельным, а в системе отсчета, связанной с осью колеса (или цилиндра), — вращательным. Следовательно, скорость каждой точки колеса в системе отсчета, связаннои с землей (абсолютная скорость), согласно закону сложения скоростей равна векторной сумме линейной скорости вращательного движения (относительной скорости) и скорости поступательного движения оси (переносной скорости) (рис. 7.6):

Мгновенный центр вращения

Пусть тонкий диск катится по плоскости (рис. 7.7). Окружность можно рассматривать как правильный многоугольник со сколь угодно большим числом сторон.

Поэтому круг, изображенный на рисунке 7.7, можно мысленно заменить многоугольником (рис. 7.8). Но движение последнего состоит из ряда небольших поворотов: сначала вокруг точки С, затем вокруг точек С₁, С₂ и т. д. Поэтому движение диска тоже можно рассматривать как последовательность очень малых (бесконечно малых) поворотов вокруг точек С, C₁ C₂ и т. д.(2). Таким образом, в каждый момент времени диск вращается вокруг своей нижней точки С. Эта точка называется мгновенным центром вращения диска. В случае качения диска по плоскости можно говорить о мгновенной оси вращения. Этой осью является линия соприкосновения диска с плоскостью в данный момент времени.

Введение понятия мгновенного центра (мгновенной оси) вращения упрощает решение ряда задач. Например, зная, что центр диска имеет скорость и, можно найти скорость точки А (см. рис. 7.7). Действительно, так как диск вращается вокруг мгновенного центра С, то радиус вращения точки А равен АС, а радиус вращения точки О равен ОС. Но так как АС = 20С, то

Аналогично можно найти скорость любой точки этого диска.

Мы познакомились с наиболее простыми видами движения твердого тела: поступательным, вращательным, плоскопараллельным. В дальнейшем нам предстоит заняться динамикой твердого тела.

(1) В дальнейшем для краткости мы будем говорить просто о твердом теле.

(2) Разумеется, изобразить на рисунке многоугольник с бесконечным числом сторон невозможно.

Источник