Линейная скорость что это такое
I. Механика. Движение по окружности
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Связь со вторым законом Ньютона
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Разница векторов есть 
. Так как 
, получим
Движение по циклоиде*
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью 
, которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле 
Движение по окружности
Наряду с движением вдоль прямой в школьной физике рассматривают движение по окружности. Для него, по аналогии с прямолинейным движением, вводятся понятия пройденного пути, скорости движения и ускорения.
В физике выделяют несколько видов движения тел. Движение по окружности – это один из случаев движения вдоль кривой линии — криволинейного движения.
Сравним понятия пройденного пути, скорости и ускорения для прямолинейного движения и движения по окружности.
Угловой путь
Для начала, вспомним, что линейное перемещение – это разница между конечным и начальным положением точки на оси (рис. 1).
Рассмотрим теперь колесо (рис. 2). На горизонтальной линии, проходящей через диаметр колеса, справа отметим красную точку, от которой мы начнем отсчитывать углы. Условимся считать, что возле этой точки находится нулевой угол.
На ободе колеса выберем точку, например — ниппель. Сначала ниппель находился в точке 1. Точка 1 сдвинута на угол \(\gamma_<1>\) относительно начала отсчета.
Будем вращать колесо в направлении, обозначенном синей стрелкой. Повернем колесо на некоторый угол, так, чтобы к концу движения ниппель переместился в точку, обозначенную цифрой 2 на рисунке. Эта точка смещена на угол \(\gamma_<2>\) по отношению к началу отсчета.
По аналогии с поступательным движением, угловой путь, который прошел ниппель — это разница (разность) угловых положений точек 1 и 2.
\(\varphi \left( \text<рад>\right)\) – угловой путь измеряется в радианах.
Угловой путь – это угол, на который повернулся ниппель, по отношению к его начальному положению.
Угловая скорость — куда она направлена
Если тело двигалось равномерно (с неизменной скоростью), то линейную скорость можно определить по формуле
\(v \left( \frac<\text<м>>
Аналогично линейному случаю, если угловой путь поделить на время движения, получим угловую скорость.
\(\omega \left( \frac<\text<рад>>
Угловая скорость \( \omega \), так же, как и линейная скорость, является вектором. Но в отличии от линейной скорости его направление можно определить по правилу буравчика (правого винта).
Примечание: Направление вектора угловой скорости \( \vec <\omega>\) можно определить по правилу буравчика (правого винта)!
На рисунке 3 окружность располагается в горизонтальной плоскости, а вектор \( \vec<\omega >\) направлен вдоль вертикальной оси вращения. Направление вращения указано синей стрелкой.
При движении по окружности вектор линейной скорости \(\vec
Примечание: Касательная и радиус перпендикулярны, это известно из геометрии.
Если точка начнет вращаться в противоположную сторону, то векторы линейной и угловой скорости развернутся противоположно направлениям, указанным на рисунке 3.
Связь между линейной и угловой скоростью
Угловая и линейная скорость связаны математически. Линейная скорость – это векторное произведение вектора угловой скорости и вектора радиуса окружности.
Примечание: Радиус окружности – это вектор, он направлен от центра окружности к ее внешней границе.
Скалярный вид записи связи скоростей:
\(\omega \left( \frac<\text<рад>>
\(v \left( \frac<\text<м>>
\(R \left( \text<м>\right)\) – радиус окружности.
Частота и период
Вращательное движение описывают с помощью таких характеристик, как частота и период.
Период обращения – это время одного полного оборота. В системе СИ период измеряют в секундах.
\( T \left(c \right)\) – время, за которое тело совершило полный оборот – период. Время – это скалярная величина.
Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных оборотов совершило тело за одну секунду?».
\( \displaystyle \nu\left( \frac<1>
Вместо записи \( \displaystyle \left( \frac<1>
\[\displaystyle 1 \text <Гц>= \frac<1>
Частота и период связаны обратной пропорциональностью:
Количество оборотов
Двигаясь по окружности достаточное время, тело может пройти не один оборот. Зная угловой путь \(\varphi \) мы можем вычислить количество N оборотов.
\( N \) – количество оборотов, скаляр. Обороты считают поштучно.
Связь между угловой скоростью и частотой
Разделим обе части уравнения на время t, в течение которого тело вращалось
Левая часть уравнения – это угловая скорость.
А дробь в правой части – это частота
Таким образом, мы получили связь между угловой скоростью и частотой
Примечание: Решая задачи на равноускоренное движение по окружности, удобно переходить от частоты к угловой скорости. Тогда можно будет применять аналогию с формулами для равноускоренного движения по прямой.
Линейная и угловая скорость
Линейная скорость
Векторная величина равная:
называется мгновенной скоростью или просто скоростью.
Скорость прохождения пути определена аналогично:
Из формулы (5) следует, что проекции скорости на оси координат X, Y,Z равны:
При этом модуль скорости найдем в соответствии с выражением:
Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:
В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения линейной скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:
Угловая скорость
Угловой скоростью называют векторную величину, равную первой производной от угла поворота по времени:
Связь между линейной и угловой скоростями задана выражением:
В векторном виде формулу (8) записывают как:
При равномерном движении по окружности угловая скорость ($\omega =const$), частота и период связаны как:
\[\omega =\frac<2\pi >
Примеры задач на линейную и угловую скорость
Решение: Основой для решения задачи будет определение величины угловой скорости:
\[\omega =\frac
Задание: Материальная точка движется в плоскости XOY. Ее движение описывают уравнения:
$(A,B-постоянные,\ больше\ нуля)$. Запишите закон изменения скорости движения точки ($\overline
Решение: Закон движения точки задан в координатной форме. В векторном виде его запишем как:
Скорость движения найдем в соответствии с ее определением:
Величину скорости найдем, зная из уравнения (2.2), что:
модуль скорости равен:
2.8. Вращение абсолютно твердого тела
Рассмотрим кинематику движения протяженного тела, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи пренебречь нельзя. Тело будем считать недеформируемым, другими словами, — абсолютно твердым.
Движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе, называется поступательным.
Под прямой «жестко связанной с телом» понимается такая прямая, расстояние от любой точки которой до любой точки тела остается постоянным при его движении.
Поступательное движение абсолютно твердого тела можно охарактеризовать движением какой-либо точки этого тела, так как при поступательном движении все точки тела движутся с одними и теми же скоростями и ускорениями, а траектории их движения конгруэнтны. Определив движение какой-нибудь из точек твердого тела, мы вместе с тем определим движение всех остальных его точек. Поэтому при описании поступательного движения не возникает новых проблем по сравнению с кинематикой материальной точки. Пример поступательного движения показан на рис. 2.20.
Рис.2.20. Поступательное движение тела
Пример поступательного движения показан на следующем рисунке:
Рис.2.21. Плоское движение тела
Другой важный частный случай движения твердого тела — это движение, при котором две точки тела остаются неподвижными.
Движение, при котором две точки тела остаются неподвижными, называется вращением вокруг неподвижной оси.
Прямая, соединяющая эти точки, также неподвижна и называется осью вращения.
Рис.2.22. Вращение твердого тела
При таком движении все точки тела движутся по окружностям, расположенным в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры окружностей лежат на оси вращения. При этом ось вращения может находиться и вне тела.
Видео 2.4. Поступательное и вращательное движения.
Угловая скорость, угловое ускорение. При вращении тела вокруг какой-либо оси все его точки описывают окружности различного радиуса и, следовательно, имеют различные перемещения, скорости и ускорения. Тем не менее, можно описать вращательное движение всех точек тела одинаковым образом. Для этого используют иные (по сравнению с материальной точкой) кинематические характеристики движения — угол поворота 
, угловую скорость 
, угловое ускорение 
.
Рис. 2.23. Вектора ускорения точки, движущейся по окружности
Роль перемещения 
при вращательном движении играет вектор малого поворота , вокруг оси вращения 00′ (рис. 2.24.). Он будет одинаков для любой точки абсолютно твердого тела (например, точек 1, 2, 3 ).
Рис. 2.24. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
Модуль вектора поворота равен величине угла поворота 
причем угол измеряется в радианах.
Направлен вектор бесконечно малого поворота по оси вращения в сторону движения правого винта (буравчика), вращаемого в том же направлении, что и тело.
Видео 2.5. Конечные угловые перемещения — не векторы, так как не складываются по правилу параллелограмма. Бесконечно малые угловые перемещения – векторы.
Векторы, направления которых связаны с правилом буравчика, называют аксиальными (от англ. axis — ось) в отличие от полярных. векторов, которыми мы пользовались ранее. Полярными векторами являются, например, радиус-вектор, вектор скорости, вектор ускорения и вектор силы. Аксиальные векторы называют также псевдовекторами, так как они отличаются от истинных (полярных) векторов своим поведением при операции отражения в зеркале (инверсии или, что то же самое, переходе от правой системы координат к левой). Можно показать (это будет сделано позже), что сложение векторов бесконечно малых поворотов происходит так же как и сложение истинных векторов, то есть по правилу параллелограмма (треугольника). Поэтому, если операция отражения в зеркале не рассматривается, то отличие псевдовекторов от истинных векторов никак не проявляет себя и обходиться с ними можно и нужно как с обычными (истинными) векторами.
Отношение вектора бесконечно малого поворота ко времени, за которое этот поворот имел место
называется угловой скоростью вращения.
Видео 2.6. Стробоскопический эффект и его использование для дистанционного измерения угловой скорости вращения.
Угловая скорость 
как и вектор 
, которому она пропорциональна, является аксиальным вектором. При вращении вокруг неподвижной оси угловая скорость не меняет своего направления. При равномерном вращении остается постоянной и ее величина, так что вектор 
. В случае достаточного постоянства во времени величины угловой скорости вращение удобно охарактеризовать его периодом Т :
Период вращения — это время, за которое тело совершает один оборот (поворот на угол 2π) вокруг оси вращения.
Слова «достаточного постоянства» означают, очевидно, что за период (время одного оборота) модуль угловой скорости меняется несущественно.
Часто используют также число оборотов в единицу времени
При этом в технических приложениях (прежде всего, всякого рода двигатели) в качестве единицы времени общепринято брать не секунду, а минуту. То есть угловая скорость вращения 
указывается в оборотах в минуту. Как легко видеть, связь между 
(в радианах в секунду) и (в оборотах в минуту) следующая
Направление вектора угловой скорости показано на рис. 2.25.
Рис. 2.25. Направление вектора угловой скорости
По аналогии с линейным ускорением вводится угловое ускорение 
как скорость изменения вектора угловой скорости. Угловое ускорение также является аксиальным вектором (псевдовектором).
Угловое ускорение — аксиальный вектор, определяемый как производная по времени от угловой скорости
При вращении вокруг неподвижной оси, в более общем случае при вращении вокруг оси, которая остается параллельной самой себе, вектор угловой скорости также направлен параллельно оси вращения. При возрастании величины угловой скорости || угловое ускорение совпадает с ней по направлению, при убывании — направлено в противоположную сторону. Подчеркнем, что это лишь частный случай неизменности направления оси вращения, в общем случае (вращение вокруг точки) ось вращения сама поворачивается и тогда сказанное выше неверно.
Связь угловых и линейных скоростей и ускорений. Каждая из точек вращающегося тела движется с определенной линейной скоростью 
, направленной по касательной к соответствующей окружности (см. рис. 19). Пусть материальная точка вращается вокруг оси 00′ по окружности радиусом R. За малый промежуток времени 
она пройдет путь 
, соответствующий углу поворота 
. Тогда
Переходя к пределу 
, получим выражение для модуля линейной скорости точки вращающегося тела.
Напомним, здесь R — расстояние от рассматриваемой точки тела до оси вращения.
Рис. 2.27. Направление движения искр при заточке инструментов.
Так как нормальное ускорение равно
то с учетом соотношения для угловой и линейной скорости получаем
Нормальное ускорение точек вращающегося твердого тела часто называют центростремительным ускорением.
Дифференцируя по времени выражение для , находим
где 
— тангенциальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R.
Таким образом, как тангенциальное, так и нормальное ускорения растут линейно с ростом радиуса R — расстояния от оси вращения. Полное ускорение также линейно зависит от R :
Пример. Найдем линейную скорость и центростремительное ускорение 
точек, лежащих на земной поверхности на экваторе и на широте Москвы ( 
= 56°). Мы знаем период вращения Земли вокруг собственной оси Т = 24 часа = 24х60х60 = 86 400 с. Отсюда находится угловая скорость вращения
Средний радиус Земли
Расстояние до оси вращения на широте равно
Отсюда находим линейную скорость
и центростремительное ускорение
На экваторе = 0, cos = 1, следовательно,
На широте Москвы cos = cos 56° = 0,559 и получаем:
Мы видим, что влияние вращения Земли не столь велико: отношение центростремительного ускорения на экваторе к ускорению свободного падения равно
Тем не менее, как мы увидим в дальнейшем, эффекты вращения Земли вполне наблюдаемы.
Связь между векторами линейной и угловой скорости. Полученные выше соотношения между угловой и линейной скоростью записаны для модулей векторов и 
. Чтобы записать эти соотношения в векторном виде, используем понятие векторного произведения.
Пусть 0z — ось вращения абсолютно твердого тела (рис. 2.28).
Рис. 2.28. Связь между векторами линейной и угловой скорости
Точка А вращается по окружности радиусом R. R — расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки тела. Примем точку 0 за начало координат. Тогда
то по определению векторного произведения, для всех точек тела
Здесь 
— радиус-вектор точки тела, начинающийся в точке О, лежащей в произвольном фиксированном месте, обязательно на оси вращения
Но, с другой стороны
Первое слагаемое равно нулю, так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Следовательно,
где вектор R перпендикулярен оси вращения и направлен от нее, а его модуль равен радиусу окружности, по которой движется материальная точка и начинается этот вектор в центре этой окружности.
Рис. 2.29. К определению мгновенной оси вращения
Нормальное (центростремительное) ускорение также можно записать в векторной форме:
причем знак «–» показывает, что оно направлено к оси вращения. Дифференцируя соотношение для линейной и угловой скорости по времени, находим для полного ускорения выражение
Первое слагаемое направлено по касательной к траектории точки на вращающемся теле и его модуль равен 
, поскольку
Сравнивая с выражением для тангенциального ускорения, приходим к выводу, что это — вектор тангенциального ускорения
Следовательно, второе слагаемое представляет собой нормальное ускорение этой же точки:
Действительно, оно направлено вдоль радиуса R к оси вращения и его модуль равен
Поэтому данное соотношение для нормального ускорения является другой формой записи ранее полученной формулы.