Математика в колледже что делать
Статья «Особенности преподавания математики в соответствии требованиями ФГОС СПО нового поколения»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Особенности преподавания математики
в соответствии с требованиями ФГОС СПО нового поколения.
«Великая цель образования это не знания, а действия»
Системные обновления в содержании образования способствуют поиску новых форм работы, которые позволяют обеспечить познавательные запросы, интересы, развитие способностей и склонностей каждого обучающегося; активное взаимодействие всех участников образовательного процесса. Достижение этих целей возможно при использовании системно-деятельностного подхода в обучении и воспитании.
В процессе педагогической деятельности возникают противоречия между потребностью общества в активной, свободной, самоопределяющейся личности и ограниченными возможностями традиционной системы обучения и низкой мотивацией обучающихся к получению знаний. Отсюда вытекает актуальность мотивации к обучению и обеспечение качественно новой модели подготовки будущих специалистов
Такой подход на уроках математики направлен на развитие интеллектуальных, коммуникативных, творческих способностей учащихся путём исследовательской деятельности, обеспечивает включение каждого ученика в активную творческую работу.
“ Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые, научившись копировать, умели бы сделать самостоятельное приложение этих сведений”
Известно, что обучающиеся системы СПО в большей степени ориентированы на получение профессии(специальности) и в значительно меньшей – на изучение общеобразовательных предметов. Поэтому для формирования и развития мотивации изучения математике должна быть осуществлена интеграция математического содержания с предметами профессионального цикла.
Образование это то, что остается, когда мы уже забыли все, чему нас учили.
Изучение математики в колледже в группах, готовящих квалифицированных специалистов на базе основной школы с получением среднего образования и специальности, является обязательным. Уровень математического образования, становится одним из важных элементов подготовки обучающихся к общественно полезной деятельности. Задача для преподавателя математики в колледже следующая: в кратчайший срок, в отведенное по учебному плану время изучить программный материал в объеме математики 10-11 классов. И не только изучить, но и вооружить мобильными, ровными знаниями, которые при переходе на дальнейшую ступень учебы будут сразу востребованы при изучении высшей математики в вузах.
Цели обучения математике в школах и в средних специальных учебных заведениях имеют ряд отличий. Если в школе в результате изучения курса математики ученик должен обладать некоторым набором математических знаний, умений и навыков, часто не связанных с его будущей специальностью (просто такие требования выдвигаются программой), то особенность изучения математики в СПО заключается в том, что уровень владения математическим аппаратом для обучающегося колледжа является одним из важнейших факторов, влияющим на его дальнейшую жизнь.
Цели преподавания математики в колледже:
1) овладении обучающимися основами математических знаний;
2) формировании математической культуры обучающихся;
3) создании базы для дальнейшего изучения специальных дисциплин.
Основная цель обучения математике на первом и втором курсах колледжа –обучающимся умение применять математические формулы и законы при дальнейшем изучении специальных дисциплин! Ведь успех изучения спецдисциплин определяет, в конечном счете, качество подготовки специалиста, а улучшение качества подготовки будущих профессионалов – главная задача обучения.Уровень владения специальными знаниями, умениями и навыками напрямую влияет на дальнейшее трудоустройство и карьеру выпускника.
Как добиться того, чтобы обучающиеся включались в деятельность, и не ждали, пока преподаватель сам все объяснит?
Для того чтобы знания обучающихся были результатом их собственных поисков, необходимо организовать эти поиски, развивать их познавательную деятельность.
Используя принципы развивающегося обучения, необходимо выстроить урок, таким образом, чтобы прослеживались следующие этапы.
Вызов, актуализация знаний.
Осмысление, открытие новых знаний, их обобщение.
Данная модель урока имеет ряд позитивных моментов:
Использование современных технологий;
Использование различных форм, приемов и методов обучения;
Большая накопляемость оценок.
Для реализации основной задачи первого этапа урока «Вызов» можно воспользоваться приёмом «Мысли во времени»
Преподаватель называет ключевое слово «тела вращения».( или пирамида )
В течение 1 минуты обучающимся необходимо непрерывно записывать свои мысли, которые «приходят в голову» и связаны с заданным словом. По истечении времени. Обучающиеся читают записи про себя. Затем мысленно отвечают на следующие вопросы.
Почему я записал именно эти слова?
О чем я думал, когда писал эти слова?
Чтобы я хотел в записях изменить?
Написанное мной имеет или не имеет для меня значение?
Специально разработанные познавательные задачи межпредметного характера позволяют обучающимся- раскрывать связь данной темы с будущей профессией. На своих уроках я использую задачи нематематического характера, а также задачи на знание математических понятий, конкретных фактов.
Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак «36км/ч». За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль.
С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²?
Смесь состоит из углерода (С) и алюминия ( Al ). Требуется найти концентрацию углерода (С), при которой в смеси карбида алюминия реагирует с наибольшей скоростью.
Первоначальная численность популяции состоит из 3000 особей. Численность популяции р( t ) описывается по закону р( t ) = ,
где t выражается в часах. Найти максимальный размер этой популяции и проанализировать результат.
Многие вновь введенные дисциплины, особенно экономические, требуют хорошего владения математическим аппаратом. В связи с этим содержание курса математики в колледже необходимо рассматривать с учетом понимания важнейших тенденций развития современной математики. Так, современная экономика требует обязательного владения обучающимися знаниями таких дисциплин, как математическая статистика и теория вероятностей.
Многие процессы как в будущей профессиональной деятельности обучающихся, так и в повседневной жизни, подчиняются законам комбинаторики и теории вероятностей.(К/ф « Что и требовалось доказать»)
Основным исходным положением, затрагивающим профессиональную направленность курса математики, является прикладная значимость знаний в практической деятельности. Прикладная направленность математических знаний означает осуществление реализации профессиональной подготовки. К основным направлениям этой работы в процессе обучения математике можно отнести следующие:
• усиление взаимосвязи математики и других смежных дисциплин;
• сближение методов решения учебных задач с методами, применяемыми на практике;
• раскрытие своеобразия отражения математикой законов действительности;
• формирования у обучающихся умений строить математические модели;
• превращение материалов наблюдения в средство повышения эффективности уроков математики;
• систематическое использование на уроках математики материала по специальности, элементов производительного процесса;
• ознакомление учащихся средствами математики с особенностями выбранной ими специальности.
Преподаватель должен стремиться не к тому, чтобы задача была решена быстро и безошибочно, или только на развитие тренировки, а к тому, чтобы она была решена творчески, и чтобы из нее выжить как можно больше пользы для математического развития студента.
Связь математики с окружающим миром и ее практическое значение стараюсь подчеркивать при изучении каждой темы. Для закрепления подбираю такие задачи, которые имеют практический смысл.
При изучении темы « Производная », дать сначала задачу: «Как из квадратного листа изготовить ящик так, чтобы его объем был наибольшим, а количество отходов наименьшим. Как это сделать быстро и точно?»
При изучении темы объемы дается такая задача: «Как определить количество литья идущего в отходы при допущении брака в работе?»
Подборка таких задач позволяет поставить перед обучающимися проблему, которая будет разрешена в ходе изучения материала, а также позволяет ответить на вопрос. А где мне это пригодится? А также вызвать интерес к изучаемому предмету.
Более того, приходится вникать в специфику будущей профессии или специальности. Чтобы объяснить ребятам, зачем автомеханику необходимо изучать математику, привожу наглядные и убедительные примеры.
Деятельностный подход в обучении невозможен без творческой самостоятельности обучающихся, которая выражается в различных домашних творческих работах. Чаще всего – это рефераты, презентации. В математике – это биографии и творчество знаменитых математиков, происхождение терминов и понятий, великие открытия в математике, математика в природе, технике.
Большое значение имеют практические навыки обучающихся в геометрических построениях. На этапе закрепления материала выполняем работы в тетрадях. Добиваюсь того, чтобы чертежи были выполнены аккуратно, с применением линейки и карандаша. Для этого использую рабочую тетрадь, в которой много заданий на построение. Кроме этого там есть задачи, тесты для лучшего усвоения темы. Эти навыки построений помогают ребятам в дальнейшем в изучении инженерной графики. Постоянно объясняю, что будущие инженеры и квалифицированные рабочие должны уметь строить и читать чертежи.
И еще о практических навыках. На уроках геометрии при изучении темы «Объемы геометрических тел» выполняем простую практическую работу на нахождение объема конуса. Ребята измеряют образующие, радиус основания, затем по формулам находим высоту конуса и его объем. Затем выборочно проверяем. При выполнении таких заданий развивается дух соперничества, азарт, интерес к результату. ( ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество).
Идеи и методы, лежащие в основе современной математики, просты, но для осознания этой простоты необходимо выполнить большую работу. В основе этой работы – решение задач. Любой новый метод требует для своего освоения выработки необходимых навыков. Другая часть – более творческие задачи, требующие медленного обдумывания. Именно умение решать достаточно большой круг задач определяет, в конечном счете, ценность специалиста! В процессе решения математических задач студенты получают умения и навыки, которые они могут в дальнейшем применить к решению практических задач как в выбранной профессии, так и «жизненных», бытовых проблем.
Успех является источником внутренних сил студента, рождающих энергию для преодоления трудностей, желания учиться. Обучающийся испытывает уверенность в себе и внутреннее удовлетворение. На основе всего этого можно сделать вывод: успех в учебе – завтрашний успех в жизни!
Преподаватель, его творчество и профессионализм, его желание и умение раскрыть способности каждого ребёнка – это всё и есть главный ресурс, без которого новые требования ФГОС не будут реализованы!
Обучающиеся- достигнут высоких результатов только тогда, когда увидят, что определённые умения необходимы ему и на других предметах и в жизни!
Математика конспект лекций 1 курс спо
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Предисловие
Настоящее пособие предназначено для студентов I курса любых специальностей в объеме 161 часа.
Данный конспект содержит необходимый материал по десяти темам курса математики. изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к экзаменам. кроме того, пособие может помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на занятии, какие-то занятия были пропущены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим пособиям, учебникам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за ограниченное количество времени.
Автор надеется, что данное пособие будет способствовать более глубокому изучению материала студентами колледжа.
– начало и конец решения примера, задачи
– начало и конец доказательства
– обратите особое внимание
В рамку заключены формулы, которые важно помнить.
Домашние задания сдаются на проверку с соответствующей защитой по графику, который находится при кабинете математики.
Консультации по математике проводятся по расписанию, находящемуся также в кабинете.
ее глубокому изучению материала студентами колледжа.\мени., какие-то заняти
Введение. Развитие понятия числа.
Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
Уравнения и неравенства с одной переменной.
Уравнения, приводимые к квадратным.
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Системы трех линейных уравнений с тремя переменными.
Системы нелинейных уравнений.
Зачетное занятие по теме.
Домашнее задание № 1.
Домашнее задание № 2.
Контрольные (зачетные) вопросы по теме.
Рубежный контроль (контрольная работа. Примерный вариант)
Практическая работа № 1.
Задания для самостоятельной работы.
В результате изучения темы студенты должны знать:
Числовые множества: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел;
Формулы решения квадратного уравнения, разложения квадратного трехчлена на линейные множители;
Правила составления и вычисления определителей второго и третьего порядков применительно к решению систем линейных уравнений;
Применение метода интервалов к решению рациональных неравенств.
В результате изучения темы студенты должны уметь:
Выполнить с заданной точностью на инженерном или программируемом микрокалькуляторе (в режиме вычислений) арифметические действия;
Вычислять значения элементарных функций;
Выполнять действия над алгебраическими дробями;
Решать уравнения с одной переменной первой и второй степени, биквадратных, иррациональных и др.
Выполнять арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме;
Решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом;
Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной, системы линейных неравенств;
Решать системы линейных и нелинейных уравнений.
Занятие 1.1 Введение. Развитие понятия числа
Роль математики в подготовке специалистов среднего профессионального образования.
Современная электронно-вычислительная техника и области ее применения.
Понятие о математическом моделировании.
Множество действительных чисел. Приближения действительных чисел конечными десятичными дробями.
Числовая прямая. Промежутки. Окрестности точки.
Простейшие вычисления с помощью МК.
Формулы сокращенного умножения.
Разделив «m» на «n» получаем конечную или бесконечную десятичную дробь
Как видим, у некоторых дробей десятичные знаки повторяются
0,5555 ……; 0,3333 ……; 4,5222 …….;
Такие числа называются периодическими десятичными дробями и записываются:
4,959595 … = 4, (95) 2,125125125 … = 2, (125)
0,5121212 … = 0,5 (12) 2,13444 … = 2,13 (4)
Каждая бесконечная периодическая дробь представляет собой рациональное число (докажем несколько позже), а пока будем использовать правило записи в виде обыкновенной дроби:
для чисто периодической дроби: в числителе пишется число, стоящее в периоде, а в знаменателе столько «9», сколько цифр в периоде, целая часть остается без изменения.
для смешанной периодической дроби: в числителе разность между числом, стоящим после запятой, и числом, стоящим после запятой до периода, а в знаменателе столько «9», сколько цифр в периоде, со столькими «0», сколько цифр после запятой до периода
Запишите в виде обыкновенной дроби:
5,21 (3) 13, (71) 14,72 (24) 0, (4)
Числа, представляющие собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными:
4,1728 …. 0,1078612 … 13,200941 …
Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2 (предлагается самостоятельно рассмотреть доказательство (автор Яковлев «Алгебра и начала анализа»
Числа рациональные и иррациональные составляют множество действительных (вещественных) чисел (R). Действительные числа изображаются геометрически на прямой, которая называется осью действительных чисел
Измеряется отрезок, соответствующий числу и откладывается на прямой.
Вы уже знакомы с числовыми множествами, называемыми промежутками. Перечислим их.
Отрезок с концами а и b:
Интервал с концами a и b
Бесконечные промежутки (лучи, полупрямые):
При выполнении действий над действительными числами используют правила округления числа
4,762 4,76 (с точностью до 0,01)
4,762 4,8 (с точностью до 0,1)
4,762 5 (с точностью до целых чисел)
Действия на МК с учетом правила округления числа (простейшие вычисления)
Комбинированные действия на МК.
Можно использовать скобки.
3) =1.342 ; 8.39 – 2.492 = XM ; 5.13 + 2.784 = MR
4) =32.0 13.6 · 0.4 = XM; 0.264 · 29.4 =M+
3.07 · 1.56 = /–/ M+ MR 0,266
Формулы сокращенного умножения
Выполнить действия (самостоятельно)
Может ли быть рациональное число отрицательным?
Почему бесконечную периодическую десятичную дробь считают рациональным числом?
Назовите числа рациональные, иррациональные
15,171 171 171 …; 4, 36 (5);
Какие числа, кроме рациональных и иррациональных являются действительными?
Можно ли утверждать, что квадратный корень из любого натурального числа есть число иррациональное?
Можно ли утверждать, что квадратный корень из любого нечетного числа есть число иррациональное?
Занятие 1.2 Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
Мнимая единица. Степень мнимой единицы.
Множество комплексных чисел, их геометрическая интерпретация
Модуль и аргумент комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение во вторую и третью степень).
Элементарные вычисления с помощью МК.
Множество действительных чисел и мнимая единица составляют множество комплексных чисел, тогда
a OX I ч > 0 острый
Для чисел, состоящих только из мнимой или только действительной частей нахождение и упрощается:
2 = 2 + 0i Число находится на «ОХ»
3i = 0 + 3i Число находится на «ОУ»
Число находится на «ОХ» (влево)
Число находится на «ОУ» (вниз)
Найти модуль и аргумент комплексного числа
Пусть даны числа : Z 2 = a 2 + b 2 i
Рассмотрим действия над числами
Сумма квадратов разлагается на множители только во множестве комплексных чисел
конкретно на примере:
Возведение в квадрат, куб (используем формулы сокращенного умножения)
Что принято за мнимую единицу?
Какое число называется комплексным числом?
Какие комплексные числа называются сопряженными, противоположными?
Как найти i в любой степени?
Как изображается геометрически комплексное число?
Чему равен модуль комплексного числа?
Как находится аргумент комплексного числа?
Как выполняются действия сложение и вычитание комплексных чисел?
Как выполняется умножение комплексных чисел?
Чему равно произведение двух сопряженных комплексных чисел?
Как выполняется деление комплексных чисел?
Занятие 1.3 Уравнения и неравенства с одной переменной, их решение.
Уравнения I – II степени с одной переменной
Неравенства I – II степени с одной переменной
Системы неравенств с одной переменной
Вычисления с помощью МК
Выдача домашнего задания № 1
– линейное уравнение I степени с одной переменной
– уравнение II степени с одной переменной
Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет. это множество называют решением уравнения.
Два уравнения называются равносильными если решение (корень) одного уравнения является решением (корнем) другого уравнения и наоборот.
Уравнения и – неравносильны, так как является корнем первого уравнения, но не удовлетворяет второму уравнению.
раскроем скобки, применяя формулы сокращенного умножения и
приведем подобные члены, получим
Ответ: – корень уравнения.
разложим на множители
перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю
дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, т. е.
(корни можно найти по теореме Виета)
уравнение не имеет действительных корней. Найдем мнимые корни.
(мы знаем, что – мнимая единица)
– неравенства I степени с одной переменной
– неравенства II степени с одной переменной
Решить неравенство – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.
Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит переменной, то есть сразу видно чт часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит перемено он не равен нулю, то в дальнейшем его можно не писать (опустить).
Используя свойства числовых неравенств, имеем
, знак неравенства меняется на противоположный
Или можно записать в виде системы неравенств
Решаем две системы
Найдем корни уравнения
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения параболы и оси OX
действительных корней нет, так как ветви параболы направлены вверх, то парабола не пересекает ось и расположена выше её, где всегда > 0,
уравнение не имеет действительных корней, т.е. парабола не пересекает ось, ветви параболы направлены вверх,
то оно имеет множество решений, т.е. е пересекает ось, ветви параболы направлены вверх, т.е. даж) – дробно–рациональное неравенство, которое может быть решено или через системы неравенств или методом интервалов. Перенесем правую часть в левую, приведем подобные члены
Решим через системы неравенств. Дробь
Метод интервалов позволяет решать не только неравенства II степени, дробно–рациональные но и более высоких степеней.
находим корни многочлена
всегда, т.е. действительных корней нет.
Отметим корни на числовой прямой, учитываем, что числитель может быть равен нулю.
только определяем знак выражения в каждом промежутке
Можно несколько ускорить процесс определения знака в промежутках.
В промежутке больше большего корня всегда выражение больше нуля, а затем, если корень повторяется нечетное число раз (кратность его нечетная), то знаки в промежутках справа и слева от корня изменяются, а если кратность корня четная, то знак справа и слева от корня не изменяется.
Вычисления с помощью МК:
Выдается домашнее задание № 1 (решение уравнений и неравенств, приложение № 1).
Занятие 1.4 Уравнения, приводимые к квадратным
Биквадратное уравнение
получили четыре действительных корня. Ответ:
Двучленные уравнения :ные уравнения
уравнение третьей степени и имеет 3 корня. Как их найти? Разложим левую часть уравнения на множители.
произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е.
действительных корней нет, найдем мнимые
т.е. уравнение имеет один действительный корень и два мнимых
разложим на множители имеем:
действительных корней нет, введём мнимую единицу
есть два мнимых корня
выносим общий множитель из каждой скобки
Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными. При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать:
При извлечении корня четной степени берется только арифметическое его значение
При возведении выражения, содержащего переменную, в степень может быть нарушена равносильность выражений
Рассмотрим на примерах:
перенесем x в правую часть
так как при решении уравнения мы возводили в квадрат, то корень требует проверки. Итак подставляем в данное уравнение
уравнение содержит два корня, перенесем один из корней в правую часть
возведем обе части уравнения в квадрат
остался один корень. Перенесем его в левую часть, остальные члены – в правую
сократим обе части на 2
и опять возведем в квадрат обе части уравнения:
Можно было указать сразу ОДЗ и получив корни, сравнить с ОДЗ
полученные корни x = 13 и x = 6 удовлетворяют ОДЗ и следовательно
Из того, что делаем вывод, что и являются корнями уравнения. Однако проверка показывает, что в данном случае является посторонним корнем
Занятие 1.5 Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Определитель второго порядка, его свойства. Правило Крамера при решении систем уравнений.
Вычисления с помощью МК
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Определитель второго порядка, его вычисление
Правило Крамера при решении систем уравнений
Свойства определителя второго порядка
Вычисления при помощи МК.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
в общем виде имеет вид
Решением системы уравнений называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. При решении такой системы могут быть использованы известные методы: 1) подстановки; 2) алгебраического сложения; 3) графически.
Но существует ещё метод решения, который особенно удобен в том случае, когда коэффициенты отличны от единицы или содержат буквенные выражения.
Имеем систему уравнений
Число называется определителем второго порядка. Вертикальные прямые – знак определителя. Обозначается определитель знаком (дельта).
Итак определитель – это число, которое вычисляется по определенному правилу
– первый столбик (коэффициенты при переменной x )
– второй столбик (коэффициенты при переменной y )
– первая строчка (коэффициенты при переменных первого уравнения)
– вторая строчка (коэффициенты при переменных второго уравнения)
Определители при переменных и получаются из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных членов.
Если – система имеет единственное решение
Если 
, но 
или 
система не имеет решения
Если сли ема не имеет решенияое решениера.ся из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных чи и – система имеет множество решений.
Основные свойства определителя
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот
При перестановке двух столбцов (строчек) определитель меняет свой знак на противоположный.
Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных столбца (строчки) равен нулю.
Общий множитель столбца (строчки) определителя можно вынести за знак определителя.
Решить систему уравнений:
система имеет единственное решение
Более рационально систему решить через определитель второго порядка
Система имеет единственное решение при условии, что т.е.
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными следует помнить, что решение можно выполнить любым из известных методов решения, просто следует выбрать каким методом более рационально для данной системы.
Решим систему всеми способами, т.е. убедимся, что результат получается одинаковый и определимся, какой из методов более рационально применим для данной системы.
1) Способ подстановки.
2) Способ алгебраического сложения
подставим y = 5 в любое из уравнений системы, например в первое, и найдем x
получаем x = –3; y = 5, как и в первом случае.
3) графически (следует помнить, что результаты могут быть получены приближенно, что можно объяснить нашим зрением, умением проводить линии, выбором масштаба, неудобством записи числа и т.д.)
графиком каждого уравнения является прямая, а прямая определяется двумя точками.
4) C помощью определителя:
Каким же способом более рационально можно было решить эту систему? Вы правы, конечно с помощью определителя.
Самостоятельно (любым способом)
Что называется определителем II порядка?
Как вычисляется определитель II порядка?
Какими свойствами обладает определитель?
При каких значениях a система имеет решение, для которого x = 4.
Вычислить при помощи МК.
Занятие 1.6 Системы трех линейных уравнений с тремя переменными. Определитель III порядка
Общий вид системы трех линейных уравнений с тремя переменными.
Определитель III порядка.
Вычисление определителя III порядка.
Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными. Правило Крамера.
Вычисления при помощи МК.
Система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет вид:
На I курсе рассматривается решение такой системы с помощью определителя третьего порядка.
Выражение, составленное из коэффициентов при переменных в виде таблицы называется определителем третьего поряда.
Определитель третьего порядка вычислить можно через определитель второго порядка или по правилу Саррюса (правило треугольника).
Через определитель II порядка.
Выделяем и мысленно вычеркиваем по столбику и строчке, оставшиеся члены составляют определитель второго порядка. Берем с противоположным знаком и вычеркиваем первую строчку и второй столбик, оставшиеся члены составляют определитель II порядка. Аналогично берем и вычеркиваем первую строчку и третий столбик, оставшиеся члены составляют определитель II порядка.
Выполняем вычисления определителей II порядка по известному уже нам правилу.
Правило треугольника (Саррюса). Рассмотрим схематически
a ) (основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали)
b ) (основания равнобедренных треугольников параллельны побочной диагонали)
Пример: (возьмем тот же определитель)
В дальнейшем запись будем вести так
Определители получаются из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных членов и вычисляются по тому же правилу, что и определитель системы.
Для нахождения значений пользуются правилами Крамера
Определитель III порядка обладает всеми свойствами определителя II порядка.
Например, решить систему уравнений
так как коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны.
Система имеет множество решений, т.е. неопределена.
и можно уже не находить. Следовательно система не имеет решения.
( система имеет множество решений)
Общий вид системы трех линейных уравнений с тремя переменными.
Что называется определителем III порядка?
Правила вычисления определителя III порядка (через определитель II порядка, правило треугольника).
Свойства определителя III порядка.
Формулы (правила) Крамера.
Вычислить при помощи МК:
Занятие 1.7 Системы нелинейных уравнений
Понятие системы нелинейных уравнений.
Решение систем нелинейных уравнений.
Вычисления при помощи МК.
Система уравнений, в которой хотя бы одно из уравнений содержит переменную во второй или выше степени называется нелинейной системой уравнений. Решить систему – значит найти все ее решения. Решением системы называется пара чисел, удовлетворяющая каждому из уравнений системы. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.
Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
При решении систем нелинейных уравнений наиболее широко используются методы: 1. подстановки; 2. алгебраического сложения; 3. графический; 4. искусственные приемы (применение формул сокращенного умножения, введения новой переменной, использование теоремы Виета и т.д.).
Рассмотрим примеры решения систем уравнений.
1. Решить способом подстановки.
первое уравнение содержит одну переменную, можно выписать это уравнение и решить его.
и тогда, подставив полученные значения и во второе уравнение, получаем
2. Решить способом алгебраического сложения
3. Решить графически
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений:
– окружность с центром (0; 0) и R = 5
Имеем пары чисел (3; 4); (4; 3); (–3; –4); (–4; –3) которые определяют координаты четырех точек.
4. Решить систему уравнений введением новой переменной.
Решаем уравнение относительно t
Теперь можно записать системы уравнений
Решаем способом подстановки первую систему:
Аналогично решение второй системы:
Таким образом получаем пары чисел:
Применим способ алгебраического сложения
Следовательно имеем систему уравнений
подставив значение в любое из уравнений системы
т.е. решением системы является пара чисел
Решаем второе уравнение относительно y ;
упростим первое уравнение системы с помощью введения новой переменной
и тогда имеем системы
Решаем эти системы относительно x и y
Замечание. При решении систем нелинейных уравнений предварительно надо решить, каким методом может быть решена система, какие надо выполнить преобразования, какие операции приводят к упрощению систем.
Вычислить при помощи МК.
Занятие 1.8 Зачет по теме. Практическая работа
(решение примеров)
Собеседование по теоретическим вопросам темы (модуля) (приложение 3).
Письменная работа (приложение 4).
Выполнение практической работы (практическая работа № 1).