Что такое сонаправленные стороны углов
Углы с сонаправленными сторонами
Урок 8. Геометрия 10 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Углы с сонаправленными сторонами»
· введем понятие сонаправленных лучей;
· дадим определение сонаправленных лучей;
· докажем теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
На этом уроке нам понадобится одна из аксиом планиметрии, которая звучит следующим образом: «любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».
Итак, пусть у нас есть некоторая прямая а, которая лежит в плоскости α. Согласно аксиоме, эта прямая разделяет плоскость α на две части. Каждую из которой, называют полуплоскостью.
Понятно, что наша прямая а разделила плоскость α на две полуплоскости. Одна из которых лежит слева от прямой а, вторая – справа. В свою очередь, прямую а называют границей каждой из этих полуплоскостей.
Обратите внимание, любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а. А вот любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от этой прямой.
Определение. Два луча ОА и О1А один в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными (т.е. одинаково направленными), если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОО1.
Напомню, что два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Лучи ОА и O1A1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.
Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами.
Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда углы О и О1 с соответственно сонаправленными сторонами лежат в разных плоскостях.
Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОB и
О1B1. Т.е. мы имеем два угла АОB и А1О1B1, стороны которых лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что угол АОB равен углу А1О1B1.
Отметим на сторонах лучей ОА и O1A1 точки А и A1 так, чтобы отрезки ОА и O1A1 были равны. На сторонах лучей ОB и O1B1 отметим точки B и B1 так, чтобы отрезки ОB и O1B1 были равны.
Рассмотрим четырехугольник ОАA1O1. Так как лучи ОА и O1A1 параллельны по условию (сонаправленны ) и равны по построению, то четырехугольник ОАА1О1 является параллелограммом по признаку параллелограмма. Следовательно, АА1 параллельно ОО1 и АА1 равно ОО1.
Рассмотрим четырехугольник ОBB1O1. Его стороны ОB и O1B1 параллельны, т.к. лежат на сонаправленных лучах по условию и равны по построению. Значит, по признаку параллелограмма четырехугольник OBB1O1 является параллелограммом. Тогда, стороны BB1 и OO1 параллельны и равны.
Обратите внимание, мы получили, что прямая AA1 параллельна прямой OO1 и прямая BB1 параллельна прямой OO1. Тогда по признаку параллельности прямых в пространстве, прямые AA1 и BB1 параллельны.
Рассмотрим четырехугольник BAA1B1. В этом четырехугольнике стороны AA1 и BB1 параллельны и равны. А значит, BAA1B1 – параллелограмм по признаку параллелограмма. Следовательно, стороны АB и A1B1 тоже параллельны и равны.
Теперь рассмотрим треугольники АОB и A1O1B1. Стороны ОА и O1A1 равны по построению. Стороны ОB и O1B1 также равны по построению. Выше мы доказали, что стороны АB и A1B1 равны. Значит, треугольники АОB и A1O1B1 равны по трем сторонам. Напомню, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОB и A1O1B1 равны. Теорема доказана.
Задание. Рассмотрите рисунок и
а) укажите лучи, которые являются сонаправленными;
б) укажите лучи, которые не являются сонаправленными.
Подведем итоги урока. На этом уроке мы ввели понятие сонаправленных лучей. Узнали, что два луча ОА и О один А один в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей О О один. Лучи ОА и О один А один, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. А также доказали теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Презентация по геометрии на тему «Углы с сонаправленными сторонами»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Углы с сонаправленными сторонами
Теоретический опрос Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? 2. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) Пересекаться? б) Быть скрещивающимися?
Ответы 1.Нет 2. Да, да 3. Нет 4. AB скрещивается с A1B1 5. Нет
полуплоскость полуплоскость граница Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. а
Сонаправленные лучи О А М С К Р Два луча ОМ и АС, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОА В Лучи, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой Т Н Лучи ОМ и АС – сонаправлены Лучи ВР и КР – сонаправлены Лучи КР и ОМ, АС и ТН – не являются сонаправленными
Углы с сонаправленными сторонами A О О1 О2 A1 В2 A2 О3 A3
Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны Теорема об углах с сонаправленными сторонами Дано: О и О1 с сонаправленными сторонами О = О1 Доказать:
Угол между двумя прямыми
a b 300 n 1000 m Угол между прямыми m и n равен 800. Угол между прямыми а и b равен 300.
Домашнее задание П.8, №№ 40,42
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1419981
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Все школы РФ с 2023 года подключат к государственной информационной системе «Моя школа»
Время чтения: 1 минута
При засыпании человеческий мозг может решать сложные задачи
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Поставщики интернета для школ будут работать с российским оборудованием
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
2. Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Скрещивающиеся прямые
Нам известны два случая расположения прямых в пространстве a ∩ b; а || b. Общее для них: они лежат в одной плоскости (рис. 1, 2).
(по следствию из аксиомы)
(по определению параллельных прямых)
ЗАДАНИЕ №1 в рабочей тетради
Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными, так как они не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.
Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема (признак скрещивающихся прямых)
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Дано: АВ ⊂ α, CD ∩ α = С, С ∉ АВ (рис. 4).
Доказать, что АВ скрещивается с CD.
Допустим, что CD и АВ лежит в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β.
Плоскости совпадают, чего быть не может, так как прямая CD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и CD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с CD.
ЗАДАНИЕ №2 в рабочей тетради
Теорема :
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.
Доказательство: учащиеся разбирают по учебнику самостоятельно с последующей записью на доске и в тетрадях.
Дано: АВ скрещивается CD (рис. 6).
Построить α: АВ ⊂ α, CD || α.
1. Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || CD.
В доказательстве этой теоремы дается способ построения плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум скрещивающимся прямым. Рассмотреть задачу на построение.
Задание №3-№4 в рабочей тетради
Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.
Углы с сонаправленными сторонами
Урок 8. Геометрия 10 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Углы с сонаправленными сторонами»
· введем понятие сонаправленных лучей;
· дадим определение сонаправленных лучей;
· докажем теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
На этом уроке нам понадобится одна из аксиом планиметрии, которая звучит следующим образом: «любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».
Итак, пусть у нас есть некоторая прямая а, которая лежит в плоскости α. Согласно аксиоме, эта прямая разделяет плоскость α на две части. Каждую из которой, называют полуплоскостью.
Понятно, что наша прямая а разделила плоскость α на две полуплоскости. Одна из которых лежит слева от прямой а, вторая – справа. В свою очередь, прямую а называют границей каждой из этих полуплоскостей.
Обратите внимание, любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а. А вот любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от этой прямой.
Определение. Два луча ОА и О1А один в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными (т.е. одинаково направленными), если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОО1.
Напомню, что два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Лучи ОА и O1A1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.
Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами.
Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда углы О и О1 с соответственно сонаправленными сторонами лежат в разных плоскостях.
Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОB и
О1B1. Т.е. мы имеем два угла АОB и А1О1B1, стороны которых лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что угол АОB равен углу А1О1B1.
Отметим на сторонах лучей ОА и O1A1 точки А и A1 так, чтобы отрезки ОА и O1A1 были равны. На сторонах лучей ОB и O1B1 отметим точки B и B1 так, чтобы отрезки ОB и O1B1 были равны.
Рассмотрим четырехугольник ОАA1O1. Так как лучи ОА и O1A1 параллельны по условию (сонаправленны ) и равны по построению, то четырехугольник ОАА1О1 является параллелограммом по признаку параллелограмма. Следовательно, АА1 параллельно ОО1 и АА1 равно ОО1.
Рассмотрим четырехугольник ОBB1O1. Его стороны ОB и O1B1 параллельны, т.к. лежат на сонаправленных лучах по условию и равны по построению. Значит, по признаку параллелограмма четырехугольник OBB1O1 является параллелограммом. Тогда, стороны BB1 и OO1 параллельны и равны.
Обратите внимание, мы получили, что прямая AA1 параллельна прямой OO1 и прямая BB1 параллельна прямой OO1. Тогда по признаку параллельности прямых в пространстве, прямые AA1 и BB1 параллельны.
Рассмотрим четырехугольник BAA1B1. В этом четырехугольнике стороны AA1 и BB1 параллельны и равны. А значит, BAA1B1 – параллелограмм по признаку параллелограмма. Следовательно, стороны АB и A1B1 тоже параллельны и равны.
Теперь рассмотрим треугольники АОB и A1O1B1. Стороны ОА и O1A1 равны по построению. Стороны ОB и O1B1 также равны по построению. Выше мы доказали, что стороны АB и A1B1 равны. Значит, треугольники АОB и A1O1B1 равны по трем сторонам. Напомню, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОB и A1O1B1 равны. Теорема доказана.
Задание. Рассмотрите рисунок и
а) укажите лучи, которые являются сонаправленными;
б) укажите лучи, которые не являются сонаправленными.
Подведем итоги урока. На этом уроке мы ввели понятие сонаправленных лучей. Узнали, что два луча ОА и О один А один в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей О О один. Лучи ОА и О один А один, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. А также доказали теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Урок «Углы с сонаправленными сторонами»
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Углы с сонаправленными сторонами.
Для изучения сегодняшней темы нам необходимо вспомнить
Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм
Любая прямая a, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая a называется границей каждой из этих полуплоскостей.
Это одна из аксиом планиметрии.
Два луча OA и O1A1 в пространстве называются одинаково направленными (сонаправленными), если один из их содержит другой или они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей OO1.
Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
По условию теоремы нам даны углы АОВ и А1О1В1 и известно что их стороны соответственно сонаправлены т.е. ОА и О1А1, ОВ и О1В1 – сонаправленные лучи
Доказать что данные углы равны
При доказательстве ограничимся случая, когда углы лежат в разных плоскостях.
1.Стороны углов сонаправлены, а значит параллельны. Проведем через них плоскости и как показано на чертеже.
Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.
На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки O1A1 и O1B1 равные соответственно ОA и OB.
2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.
Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник – параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1
4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.
По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1
5. из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следуем что треугольники AOB и A1O1B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1